Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải cùng biện luận phương trình số 1 đối với sinx với cosx.

Bạn đang xem: Phương trình bậc nhất đối với sin và cos

I. PHƯƠNG PHÁPBài toán: Giải với biện luận phương trình: $asin x + bcos x = c$ $(1).$PHƯƠNG PHÁP CHUNG:Ta rất có thể lựa chọn 1 trong những cách sau:Cách 1: triển khai theo các bước:+ bước 1. Kiểm tra:1. Giả dụ $a^2 + b^2 2. Giả dụ $a^2 + b^2 ge c^2$, khi ấy để search nghiệm của phương trình $(1)$ ta triển khai tiếp cách 2.+ bước 2. Phân tách hai vế phương trình $(1)$ đến $sqrt a^2 + b^2 $, ta được:$fracasqrt a^2 + b^2 sin x + fracbsqrt a^2 + b^2 cos x$ $ = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Vì $left( fracasqrt a^2 + b^2 ight)^2 + left( fracbsqrt a^2 + b^2 ight)^2 = 1$ phải tồn tại góc $eta $ sao để cho $fracasqrt a^2 + b^2 = cos eta $, $fracbsqrt a^2 + b^2 = sin eta .$Khi kia phương trình $(1)$ tất cả dạng:$sin xcos eta + sin eta cos x = fraccsqrt a^2 + b^2 $ $ Leftrightarrow sin (x + eta ) = fraccsqrt a^2 + b^2 .$Đây là phương trình cơ bạn dạng của sin.

Cách 2: Thực theo những bước:+ Bước 1. Với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pi + 2kpi $, chất vấn vào phương trình.+ Bước 2. Cùng với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow x e pi + 2kpi $, để $t = an fracx2$, suy ra:$sin x = frac2t1 + t^2$ cùng $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$Khi đó phương trình $(1)$ gồm dạng:$a.frac2t1 + t^2 + b.frac1 – t^21 + t^2 = c$ $ Leftrightarrow (c + b)t^2 – 2at + c – b = 0$ $(2).$+ Bước 3. Giải phương trình $(2)$ theo $t.$

Cách 3: Với phần đa yêu ước biện luận số nghiệm của phương trình trong $(alpha ,eta )$, ta có thể lựa chọn cách thức hàm số thứ thị.

Cách 4: Với phần đông yêu cầu biện luận đặc thù nghiệm của phương trình trong $(alpha ,eta )$, ta hoàn toàn có thể lựa chọn cách thức điều kiện đề nghị và đủ.

Nhận xét quan liêu trọng:1. Giải pháp 1 hay được thực hiện với những bài toán yêu cầu giải phương trình cùng tìm đk của tham số để phương trình bao gồm nghiệm, vô nghiệm hoặc giải với biện luận phương trình theo tham số.2. Giải pháp 2 thường được sử dụng với những bài toán yêu mong giải phương trình và tìm đk của tham số nhằm phương trình có nghiệm thuộc tập $D$ cùng với $D subset <0,2pi >.$3. Cách 3 hay được sử dụng với các bài toán yêu ước biện luận theo tham số để phương trình có $k$ nghiệm thuộc tập $D$ với $D cap <0,2pi > e emptyset .$4. Từ giải pháp giải 1 ta gồm được kết quả sau:$ – sqrt a^2 + b^2 $ $ le asin x + bcos x$ $ le sqrt a^2 + b^2 .$Kết trái đó gợi ý cho việc về giá bán trị lớn số 1 và nhỏ dại nhất của những hàm số dạng $y = asin x + bcos x$, $y = fracasin x + bcos xcsin x + dcos x$ và cách thức đánh giá bán cho một vài phương trình lượng giác.

Dạng sệt biệt:+ $sin x + cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = – fracpi 4 + kpi $, $k in Z.$+ $sin x – cos x = 0$ $ Leftrightarrow x = fracpi 4 + kpi $, $k in Z.$

Ví dụ 1: Giải phương trình: $sqrt 3 sin 3x + cos 3x = sqrt 2 .$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$fracsqrt 3 2sin 3x + frac12cos 3x = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin 3xcos fracpi 6 + cos 3xsin fracpi 6 = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin left( 3x + fracpi 6 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20c3x + fracpi 6 = fracpi 4 + 2kpi \3x + fracpi 6 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 36 + frac2kpi 3\x = frac7pi 36 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai bọn họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình: $3sin x – 4cos x = – frac52.$

Biến đổi phương trình về dạng:$frac35sin x – frac45cos x = – frac12.$Đặt $frac35 = cos alpha $ với $frac45 = sin alpha $, khi ấy ta được:$sin xcos alpha – cos xsin alpha = – frac12$ $ Leftrightarrow sin (x – alpha ) = sin left( – fracpi 6 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – alpha = – fracpi 6 + 2kpi \x – alpha = pi + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha – fracpi 6 + 2kpi \x = frac5pi 6 + alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai họ nghiệm.

Ví dụ 3: Giải phương trình: $sin 2x – 3cos 2x = 3.$

Ta có thể lựa lựa chọn 1 trong hai biện pháp sau:Cách 1: chuyển đổi phương trình về dạng:$frac1sqrt 10 sin 2x – frac3sqrt 10 cos 2x = frac3sqrt 10 .$Đặt $frac1sqrt 10 = cos alpha $ và $frac3sqrt 10 = sin alpha $, khi kia ta được:$sin 2xcos alpha – cos 2xsin alpha = sin alpha $ $ Leftrightarrow sin (2x – alpha ) = sin alpha $ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – alpha = alpha + 2kpi \2x – alpha = pi – alpha + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai họ nghiệm.Cách 2: chuyển đổi phương trình về dạng:$sin 2x = 3(1 + cos 2x)$ $ Leftrightarrow 2sin xcos x = 6cos ^2x$ $ Leftrightarrow (sin x – 3cos x)cos x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lsin x – 3cos x = 0\cos x = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an x = 3 = an alpha \cos x = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = alpha + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có hai bọn họ nghiệm.

Ví dụ 4: Giải phương trình: $2sin x – 3cos x = – 2.$

Ta rất có thể lựa lựa chọn một trong hai bí quyết sau:Cách 1: biến hóa phương trình về dạng:$frac2sqrt 13 sin x – frac3sqrt 13 cos x = – frac2sqrt 13 .$Đặt $frac2sqrt 13 = cos alpha $ cùng $frac3sqrt 13 = sin alpha $, lúc ấy ta được:$sin xcos alpha – cos xsin alpha = – cos alpha $ $ Leftrightarrow sin (x – alpha ) = sin left( alpha – fracpi 2 ight)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – alpha = alpha – fracpi 2 + 2kpi \x – alpha = pi – alpha + fracpi 2 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2alpha – fracpi 2 + 2kpi \x = frac3pi 2 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai chúng ta nghiệm.Cách 2: biến đổi phương trình về dạng:$2(1 + sin x) = 3cos x$ $ Leftrightarrow 2left( cos fracx2 + sin fracx2 ight)^2$ $ = 3left( cos ^2fracx2 – sin ^2fracx2 ight).$$ Leftrightarrow left< 2left( cos fracx2 + sin fracx2 ight) – 3left( cos fracx2 – sin fracx2 ight) ight>$$left( cos fracx2 + sin fracx2 ight) = 0.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l5sin fracx2 – cos fracx2 = 0\cos fracx2 + sin fracx2 = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an fracx2 = frac15 = an alpha \ an fracx2 = – 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lfracx2 = alpha + kpi \fracx2 = frac3pi 4 + kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2alpha + 2kpi \x = frac3pi 2 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai bọn họ nghiệm.

Chú ý: các em học tập sinh cần có thói quen thuộc kiểm tra đk $a^2 + b^2 ge c^2$ ra nháp trước khi đi giải phương trình bởi có khá nhiều bài thi đã nuốm tình tạo ra những phương trình ko thoả mãn đk trên với mục tiêu kiểm tra kỹ năng và kiến thức cơ phiên bản của những em. Rõ ràng như đề thi ĐHGTVT – 2000.

Ví dụ 5: (ĐHGTVT – 2000): Giải phương trình: $2sqrt 2 (sin x + cos x)cos x = 3 + cos 2x.$

Biến đổi phương trình về dạng:$sqrt 2 sin 2x + sqrt 2 (1 + cos 2x) = 3 + cos 2x$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin 2x + (sqrt 2 – 1)cos 2x = 3 – sqrt 2 .$Ta có:$left{ eginarray*20la = sqrt 2 \b = sqrt 2 – 1\c = 3 – sqrt 2 endarray ight.$ $ Rightarrow left( eginarray*20la^2 + b^2 = 2 + (sqrt 2 – 1)^2 = 5 – 2sqrt 2 \c^2 = (3 – sqrt 2 )^2 = 11 – 6sqrt 2 endarray ight.$ $ Rightarrow a^2 + b^2 Vậy phương trình vô nghiệm.

Chú ý: câu hỏi lựa chọn các phép chuyển đổi lượng giác cân xứng trong các trường đúng theo ta sẽ tìm kiếm được phép biểu diễn chẵn cho những họ nghiệm. Chúng ta xem xét ví dụ sau:

Ví dụ 6: Giải phương trình: $(1 + sqrt 3 )sin x + (1 – sqrt 3 )cos x = 2.$

Cách 1: biến đổi phương trình về dạng:$frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 sin x + frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 cos x = frac1sqrt 2 .$Đặt $frac1 + sqrt 3 2sqrt 2 = cos alpha $ thì $frac1 – sqrt 3 2sqrt 2 = sin alpha $, lúc đó ta được:$sin xcos alpha + cos xsin alpha = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin (x + alpha ) = sin fracpi 4.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + alpha = fracpi 4 + 2dot kpi \x + alpha = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 4 – alpha + 2kpi \x = frac3pi 4 – alpha + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình bao gồm hai họ nghiệm.

Xem thêm: Công Bố Tiêu Chuẩn Cơ Sở Là Gì, Công Bố Tiêu Chuẩn Cơ Sở

Cách 2: biến đổi phương trình về dạng:$(sin x + cos x) + sqrt 3 (sin x – cos x) = 2$ $ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 4 ight)$ $ – sqrt 6 cos left( x + fracpi 4 ight) = 2$ $ Leftrightarrow frac12sin left( x + fracpi 4 ight)$ $ – fracsqrt 3 2cos left( x + fracpi 4 ight) = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 ight)cos fracpi 3$ $ – cos left( x + fracpi 4 ight)sin fracpi 3 = frac1sqrt 2 $ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 4 – fracpi 3 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx – fracpi 12 = fracpi 4 + 2kpi \x – fracpi 12 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 3 + 2kpi \x = frac5pi 6 + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai chúng ta nghiệm.

thừa nhận xét:Như vậy bằng cách 1 ta tìm kiếm được nghiệm của phương trình không tường minh, trong những khi đó nếu thực hiện cách 2 ta thấy nghiệm của phương trình vô cùng chẵn.Một vài tài liệu xem thêm giải phương trình bằng cách đặt $t = an fracx2$, mang đến phương trình:$(3 – sqrt 3 )t^2 – 2(1 + sqrt 3 )t + sqrt 3 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow t_1 = frac1sqrt 3 vee t_2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1.$+ cùng với $t_1 = frac1sqrt 3 $ ta được:$ an fracx2 = frac1sqrt 3 = an fracpi 6$ $ Leftrightarrow fracx2 = fracpi 6 + kpi $ $ Leftrightarrow x = fracpi 3 + 2kpi $, $k in Z.$+ cùng với $t_2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1$ ta được:$ an fracx2 = fracsqrt 3 + 1sqrt 3 – 1$ $ = – frac an fracpi 3 + an fracpi 41 – an fracpi 3. an fracpi 4$ $ = – an frac7pi 12$ $ = an frac5pi 12.$$ Leftrightarrow fracx2 = frac5pi 12 + kpi $ $ Leftrightarrow x = frac5pi 6 + 2kpi $, $k in Z.$

Ví dụ 7: Giải phương trình: $2(sqrt 3 sin x – cos x)$ $ = 3sin 2x + sqrt 7 cos 2x.$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$2sqrt 3 sin x – 2cos x$ $ = 3sin 2x + sqrt 7 cos 2x$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x – frac12cos x$ $ = frac34sin 2x + fracsqrt 7 4cos 2x.$Đặt $frac34 = cos alpha $ và $fracsqrt 7 4 = sin alpha $, lúc đó ta được:$sin xcos fracpi 6 – cos xsin fracpi 6$ $ = sin 2xcos alpha + cos 2xsin alpha $ $ Leftrightarrow sin left( x – fracpi 6 ight) = sin (2x + alpha )$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x + alpha = x – fracpi 6 + 2kpi \2x + alpha = pi – x + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – fracpi 6 – alpha + 2kpi \x = frac7pi 18 – fracalpha 3 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình gồm hai chúng ta nghiệm.

Chú ý: ví dụ như trên sẽ minh hoạ cố gắng thể phương pháp giải phương trình dạng: $asin (kx) + bcos (kx)$ $ = csin (lx) + dcos (lx)$ $(I)$, với điều kiện $a^2 + b^2 = c^2 + d^2.$Và sự không ngừng mở rộng khác đến dạng phương trình trên như sau: $asin (kx) + bcos (kx)$ $ = sqrt a^2 + b^2 sin (lx)$ $(II).$Để minh hoạ ta cẩn thận ví dụ sau:

Ví dụ 8: Giải phương trình: $2sin x(cos x – 1) = sqrt 3 cos 2x.$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$2sin xcos x – 2sin x = sqrt 3 cos 2x$ $ Leftrightarrow sin 2x – sqrt 3 cos 2x = 2sin x$ $(*).$$ Leftrightarrow frac12sin 2x – fracsqrt 3 2cos 2x = sin x$ $ Leftrightarrow sin 2xcos fracpi 3 – cos 2xsin fracpi 3 = sin x.$$ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 3 ight) = sin x$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 3 = x + 2kpi \2x – fracpi 3 = pi – x + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 3 + 2kpi \x = frac4pi 9 + frac2kpi 3endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình tất cả hai chúng ta nghiệm.

Nhận xét: Như vậy bởi một vài phép biến hóa lượng giác thường thì ta đã chuyển phương trình thuở đầu về $(*)$ cùng đó chính là dạng $(II).$

lấy ví dụ 9: Giải phương trình:$sqrt 2 (sin x + sqrt 3 cos x)$ $ = sqrt 3 cos 2x – sin 2x.$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$sqrt 2 left( frac12sin x + fracsqrt 3 2cos x ight)$ $ = fracsqrt 3 2cos 2x – frac12sin 2x.$$ Leftrightarrow sqrt 2 left( sin xcos fracpi 3 + cos xsin fracpi 3 ight)$ $ = sin fracpi 3cos 2x – cos fracpi 3sin 2x.$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 3 ight)$ $ = sin left( fracpi 3 – 2x ight)$ $ = sin left( 2x + frac2pi 3 ight).$$ Leftrightarrow sqrt 2 sin left( x + fracpi 3 ight)$ $ = 2sin left( x + fracpi 3 ight)cos left( x + fracpi 3 ight).$$ Leftrightarrow left< sqrt 2 – 2cos left( x + fracpi 3 ight) ight>sin left( x + fracpi 3 ight) = 0.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lcos left( x + fracpi 3 ight) = fracsqrt 2 2\sin left( x + fracpi 3 ight) = 0endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + fracpi 3 = pm fracpi 4 + 2kpi \x + fracpi 3 = kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 12 + 2kpi \x = – frac7pi 12 + 2kpi \x = – fracpi 3 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy phương trình có cha họ nghiệm.

Ví dụ 10: mang lại phương trình: $sqrt 3 sin 2x – mcos 2x = 1.$a. Giải phương trình với $m = 1.$b. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với đa số $m.$

Với $m = 1$, phương trình bao gồm dạng:$sqrt 3 sin 2x – mcos 2x = 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin 2x – frac12cos 2x = frac12.$$ Leftrightarrow sin 2xcos fracpi 6 – cos 2xsin fracpi 6 = frac12$ $ Leftrightarrow sin left( 2x – fracpi 6 ight) = sin fracpi 6.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l2x – fracpi 6 = fracpi 6 + 2kpi \2x – fracpi 6 = pi – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = fracpi 6 + kpi \x = fracpi 2 + kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy cùng với $m =1$ phương trình bao gồm hai họ nghiệm.b. Ta có: $a^2 + b^2 = 3 + m^2 > 1 = c^2$, $forall m.$Vậy phương trình bao gồm nghiệm với tất cả $m.$

ví dụ 11: (ĐHKT – 2001): Giải cùng biện luận phương trình:$4m(sin x + cos x)$ $ = 4m^2 + 2(cos x – sin x) + 3.$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$2(2m + 1)sin x + 2(2m – 1)cos x$ $ = 4m^2 + 3.$Xét hiệu:$a^2 + b^2 – c^2$ $ = 4(2m + 1)^2 + 4(2m – 1)^2 – left( 4m^2 + 3 ight)^2$ $ = – left( 16m^4 – 8m^2 + 1 ight)$ $ = – left( 4m^2 – 1 ight)^2 le 0.$Vậy phương trình chỉ tất cả nghiệm $ Leftrightarrow a^2 + b^2 – c^2 = 0$ $ Leftrightarrow m = pm frac12.$+ cùng với $m = frac12$, phương trình bao gồm dạng:$sin x = 1$ $ Leftrightarrow x = fracpi 2 + 2kpi $, $k in Z.$+ cùng với $m = – frac12$, phương trình gồm dạng:$cos x = 1$ $ Leftrightarrow x = 2kpi $, $k in Z.$+ cùng với $m e pm frac12$, phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 12: mang đến phương trình:$(m + 2)sin x – 2mcos x = 2m + 2$ $(1).$a. Giải phương trình với $m = -2.$b. Kiếm tìm $m$ để phương trình gồm nghiệm trực thuộc $left< – fracpi 2,0 ight>.$

Xét hai trường hợp:+ cùng với $cos fracx2 = 0$ $ Leftrightarrow fracx2 = fracpi 2 + kpi $ $ Leftrightarrow x = pi + 2kpi $, nỗ lực vào phương trình ta được:$(m + 2)sin (pi + 2kpi ) – 2mcos (pi + 2kpi )$ $ = 2m + 2$ $ Leftrightarrow 2m = 2m + 2$ (Mâu thuẫn).Vậy $x = pi + 2kpi $, $k in Z$ không bắt buộc là nghiệm của phương trình với tất cả $m.$+ cùng với $cos fracx2 e 0$ $ Leftrightarrow fracx2 e fracpi 2 + kpi $ $ Leftrightarrow x e pi + 2kpi $, $k in Z.$Đặt $t = an fracx2$, suy ra: $sin x = frac2t1 + t^2$ cùng $cos x = frac1 – t^21 + t^2.$Khi đó phương trình $(1)$ tất cả dạng:$frac(m + 2)t1 + t^2 – frac2mleft( 1 – t^2 ight)1 + t^2 = 2m + 2$ $ Leftrightarrow t^2 – (m + 2)t + 2m + 1 = 0$ $(2).$a. Với $m = -2$, phương trình $(2)$ gồm dạng:$t^2 – 3 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lt = sqrt 3 \t = – sqrt 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l an fracx2 = sqrt 3 \ an fracx2 = – sqrt 3 endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lfracx2 = fracpi 3 + kpi \fracx2 = – fracpi 3 + kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = pm frac2pi 3 + 2kpi $, $k in Z.$Vậy với $m = -2$, phương trình có hai bọn họ nghiệm.b. Vì chưng $x in left< – fracpi 2,0 ight>$ $ Leftrightarrow fracx2 in left< – fracpi 4,0 ight>$ suy ra $t in < – 1,0>.$Cách 1: Để $(1)$ tất cả nghiệm trực thuộc $left< – fracpi 2,0 ight> Leftrightarrow (2)$ có nghiệm thuộc $< – 1,0>.$$ Leftrightarrow $ $left< eginarraylleft( 2 ight) m:có:1:nghiệm:thuộc:< – 1,0>\left( 2 ight) m:có:1:nghiệm:thuộc:< – 1,0>endarray ight..$$ Leftrightarrow left< {eginarray*20lf( – 1)f(0) le 0\left eginarray*20lDelta ge 0\af( – 1) ge 0\af(0) ge 0\ – 1 le fracS2 le 0endarray ight.endarray ight.$ $left< eginarrayl(3m + 4)(2m + 1) le 0\left{ eginarray*20lm^2 – 4m ge 0\3m + 4 ge 0\2m + 1 ge 0\ – 1 le fracm + 22 le 0endarray ight.endarray ight.$ $ Leftrightarrow – frac43 le m le – frac12.$Vậy cùng với $ – frac43 le m le – frac12$ phương trình bao gồm nghiệm.Cách 2: Viết lại phương trình bên dưới dạng:$fract^2 – 2t + 1t – 2 = m.$Phương trình $(1)$ gồm nghiệm $ Leftrightarrow $ con đường thẳng $y = m$ giảm đồ thị hàm số $y = fract^2 – 2t + 1t – 2$ bên trên đoạn $< – 1,0>.$Xét hàm số $(C):y = fract^2 – 2t + 1t – 2$ trên đoạn $< – 1,0>.$Đạo hàm:$y’ = fract^2 – 4t + 3(t – 2)^2 > 0$ với tất cả $t in < – 1,0>$ $ Leftrightarrow $ hàm số đồng đổi thay trên $left< – 1,0 ight>.$Do đó đường thẳng $y = m$ giảm đồ thị hàm số $(C)$ trên đoạn $< – 1,0>.$$ Leftrightarrow y( – 1) le m le y(0)$ $ Leftrightarrow – frac43 le m le – frac12.$Vậy cùng với $ – frac43 le m le – frac12$ phương trình có nghiệm.

Ví dụ 13: mang lại phương trình: $sqrt 3 sin x + cos x = m$ $(1).$a. Giải phương trình với $m = -1.$b. Biện luận theo $m$ số nghiệm ở trong $left( – fracpi 6,2pi ight>$ của phương trình.

a. Với $m = -1$, phương trình gồm dạng:$sqrt 3 sin x + cos x = – 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x + frac12cos x = – frac12$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 6 ight) = sin left( – fracpi 6 ight).$$ Leftrightarrow left< eginarray*20cx + fracpi 6 = – fracpi 6 + 2kpi \x + fracpi 6 = pi + fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – fracpi 3 + 2kpi \x = pi + 2kpi endarray ight.$, $k in Z.$Vậy với $m = – 1$ phương trình có hai họ nghiệm.b. Số nghiệm của phương trình thông qua số giao điểm của con đường thẳng $y = m$ với phần đồ vật thị hàm số $y = sqrt 3 sin x + cos x$ bên trên $D = left( – fracpi 6,2pi ight>.$Xét hàm số: $y = sqrt 3 sin x + cos x.$Miền xác định: $D = left( – fracpi 6,2pi ight>.$Đạo hàm:$y’ = sqrt 3 cos x – sin x.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow sqrt 3 cos x – sin x = 0$ $ Leftrightarrow cos left( x + fracpi 6 ight) = 0$ $mathop Leftrightarrow limits^x in D left< eginarray*20lx = pi /3\x = 4pi /3endarray ight..$Bảng biến đổi thiên:

*

Kết luận:+ với $|m|>2$, phương trình vô nghiệm.+ với $m = pm 2$, phương trình có $1$ nghiệm ở trong $D.$+ cùng với $ – 2 + với $0 ví dụ như 14: Biện luận theo $m$ số nghiệm nằm trong $left< 0,frac3pi 2 ight>$ của phương trình: $msin x + cos x = 2m$ $(1).$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$cos x = m(2 – sin x)$ $ Leftrightarrow fraccos x2 – sin x = m.$Số nghiệm của phương trình ngay số giao điểm của đường thẳng $y = m$ với trang bị thị hàm số $y = fraccos x2 – sin x$ bên trên $D = left< 0,frac3pi 2 ight>.$Xét hàm số: $y = fraccos x2 – sin x.$Miền xác định: $D = left< 0,frac3pi 2 ight>.$Đạo hàm:$y’ = frac – sin x(2 – sin x) + cos xcos x(2 – sin x)^2$ $ = frac1 – 2sin x(2 – sin x)^2.$$y’ = 0$ $ Leftrightarrow 1 – 2sin x = 0$ $ Leftrightarrow sin x = frac12$ $mathop Leftrightarrow limits^x in D left< eginarray*20lx = pi /6\x = 5pi /6endarray ight..$Bảng biến đổi thiên:

*

Kết luận:+ với $|m| > frac1sqrt 3 $, phương trình vô nghiệm.+ với $m = pm frac1sqrt 3 $ hoặc $0 + cùng với $ – frac1sqrt 3 ví dụ như 15: mang đến phương trình: $sqrt 3 sin x + mcos x = 1.$Tìm $m$ nhằm phương trình gồm hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi )$ làm thế nào để cho $x_1 + x_2 = frac2pi 3.$

Điều kiện cần: giả sử phương trình gồm nghiệm $x = alpha in left< 0,frac2pi 3 ight>$, khi đó $x = frac2pi 3 – alpha $ cũng là nghiệm, như vậy:$left{ eginarray*20lsqrt 3 sin alpha + mcos alpha = 1\sqrt 3 sin left( frac2pi 3 – alpha ight) + mcos left( frac2pi 3 – alpha ight) = 1endarray ight.$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lmcos alpha = 1 – sqrt 3 sin alpha \mleft( – frac12cos alpha + fracsqrt 3 2sin alpha ight) = 1 – sqrt 3 left( fracsqrt 3 2cos alpha + frac12sin alpha ight)endarray ight..$$ Rightarrow fraccos alpha – cos alpha + sqrt 3 sin alpha $ $ = frac1 – sqrt 3 sin alpha 2 – 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha .$$ Leftrightarrow (2 – 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha )cos alpha $ $ = ( – cos alpha + sqrt 3 sin alpha )(1 – sqrt 3 sin alpha ).$$ Leftrightarrow 3cos 2alpha + sqrt 3 sin 2alpha $ $ = 3cos alpha – sqrt 3 sin alpha .$$ Leftrightarrow fracsqrt 3 2cos 2alpha + frac12sin 2alpha $ $ = fracsqrt 3 2cos alpha – frac12sin alpha .$$ Leftrightarrow cos 2alpha cos fracpi 6 + sin 2alpha sin fracpi 6$ $ = cos alpha cos fracpi 6 – sin alpha cos fracpi 6.$$ Leftrightarrow cos left( 2alpha – fracpi 6 ight) = cos left( alpha + fracpi 6 ight).$$ Leftrightarrow left< eginarray*20l2alpha – fracpi 6 = alpha + fracpi 6 + 2kpi \2alpha – fracpi 6 = – alpha – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lalpha = fracpi 3 + 2kpi \alpha = frac2kpi 3endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lalpha = fracpi 3\alpha = 0\alpha = frac2pi 3endarray ight..$+ với $alpha = fracpi 3$, rứa vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin fracpi 3 + mcos fracpi 3 = 1$ $ Leftrightarrow m = – 1.$+ cùng với $alpha = 0$, thay vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin 0 + mcos 0 = 1$ $ Leftrightarrow m = 1.$+ với $alpha = frac2pi 3$, cụ vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin frac2pi 3 + mcos frac2pi 3 = 1$ $ Leftrightarrow m = 1.$Vậy với $m = pm 1$ là đk cần.Điều khiếu nại đủ:+ với $m = 1$, vậy vào phương trình ta được:$sqrt 3 sin x + cos x = 1$ $ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin x + frac12cos x = frac12$ $ Leftrightarrow sin left( x + fracpi 6 ight) = sin fracpi 6.$$ Leftrightarrow left< eginarray*20lx + fracpi 6 = fracpi 6 + 2kpi \x + fracpi 6 = pi – fracpi 6 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 2kpi \x = frac2pi 3 + 2kpi endarray ight.$ $mathop Leftrightarrow limits^x in left< 0,2pi ight) left< eginarray*20lx_1 = 0\x_2 = frac2pi 3endarray ight..$Nhận xét rằng lúc ấy $x_1 + x_2 = frac2pi 3$, do đó $m = 1$ thoả mãn.+ cùng với $m = -1$: độc giả tự có tác dụng tương tự.

II. CÁC BÀI TOÁN THIBài 1: (ĐHMĐC – 1995): Giải phương trình: $3sin 3x – sqrt 3 cos 9x = 1 + 4sin ^33x.$

Biến đổi phương trình về dạng:$3sin 3x – 4sin ^33x – sqrt 3 cos 9x = 1$ $ Leftrightarrow sin 9x – sqrt 3 cos 9x = 1.$Bạn gọi tự giải tiếp.

Bài 2. (ĐHMTCN – 1996): Giải phương trình:$cos 7xcos 5x – sqrt 3 sin 2x$ $ = 1 – sin 7xsin 5x.$

Biến thay đổi phương trình về dạng:$cos 7xcos 5x + sin 7xsin 5x$ $ – sqrt 3 sin 2x = 1$ $ Leftrightarrow cos 2x – sqrt 3 sin 2x = 1.$Bạn phát âm tự giải tiếp.

Bài 3: (ĐHKTQD – 1997): Tìm những nghiệm thuộc khoảng $left( frac2pi 5,frac6pi 7 ight)$ của phương trình: $sqrt 3 sin 7x – cos 7x = sqrt 2 .$

Biến đổi phương trình về dạng:$ Leftrightarrow fracsqrt 3 2sin 7x – frac12cos 7x = fracsqrt 2 2$ $ Leftrightarrow sin 7xcos fracpi 6 – cos 7xsin fracpi 6 = fracsqrt 2 2.$$ Leftrightarrow sin left( 7x – fracpi 6 ight) = sin fracpi 4$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20l7x – fracpi 6 = fracpi 4 + 2kpi \7x – fracpi 6 = pi – fracpi 4 + 2kpi endarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = frac5pi 84 + frac2kpi 7\x = frac11pi 84 + frac2kpi 7endarray ight.$, $k in Z.$+ Với chúng ta nghiệm $x = frac5pi 84 + frac2kpi 7$, ta được:$frac2pi 5 lúc đó ta được nghiệm: $x_1 = frac5pi 84 + frac4pi 7 = frac53pi 84.$+ Với chúng ta nghiệm $x = frac11pi 84 + frac2kpi 7$, ta được:$frac2pi 5 khi đó ta được nghiệm: $x_2 = frac11pi 84 + frac2pi 7 = frac35pi 84$ với $x_3 = frac11pi 84 + frac4pi 7 = frac59pi 84.$

Bài 4: cho phương trình:a. Giải phương trình với $m = sqrt 3 .$b. Tìm kiếm $m$ nhằm phương trình tất cả $4$ nghiệm khác nhau thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$

a. Bạn gọi tự giải.b. đổi khác phương trình về dạng:$sin x = m(1 – cos x)$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20ccos x = 1\fracsin x1 – cos x = mendarray ight.$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 vee x = 2pi \fracsin x1 – cos x = m:(*)endarray ight..$Vậy để phương trình lúc đầu có $4$ nghiệm rõ ràng thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight)$ điều kiện là phương trình $(*)$ bao gồm $2$ nghiệm tách biệt thuộc $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Số nghiệm của phương trình $(*)$ thông qua số giao điểm của mặt đường thẳng $y = m$ với đồ vật thị hàm số $y = fracsin x1 – cos x$ bên trên $D = left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Xét hàm số $y = fracsin x1 – cos x.$Miền xác minh $D = left( – pi ,frac7pi 3 ight).$Đạo hàm $y’ = fraccos x – 1(1 – cos x)^2 le 0$, $forall x in D.$Bảng vươn lên là thiên:

*

Khi kia với $m le 0 vee m ge sqrt 3 $ phương trình $(*)$ tất cả $2$ nghiệm phân minh thuộc khoảng chừng $left( – pi ,frac7pi 3 ight).$

Bài 5: (ĐHTCKT thành phố hồ chí minh – 1995): cho phương trình: $msin x + (m + 1)cos x + 1 = 0.$Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi >$ với hai nghiệm này bí quyết nhau $fracpi 2.$

Điều khiếu nại cần: đưa sử phương trình gồm nghiệm $x = alpha in left< 0,frac3pi 2 ight>$, khi đó $x = alpha + fracpi 2$ cũng chính là nghiệm, như vậy:$left{ eginarray*20lmsin alpha + (m + 1)cos alpha + 1 = 0\msin left( alpha + fracpi 2 ight) + (m + 1)cos left( alpha + fracpi 2 ight) + 1 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lmsin alpha + (m + 1)cos alpha + 1 = 0\mcos alpha – (m + 1)sin alpha + 1 = 0endarray ight..$$ Leftrightarrow left{ eginarray*20lm(sin alpha + cos alpha ) = – 1 – cos alpha \m(cos alpha – sin alpha ) = sin alpha – 1endarray ight..$$ Rightarrow fracsin alpha + cos alpha cos alpha – sin alpha = frac1 + cos alpha 1 – sin alpha .$$ Leftrightarrow (sin alpha + cos alpha )(1 – sin alpha )$ $ = (cos alpha – sin alpha )(1 + cos alpha )$ $ Leftrightarrow sin alpha = frac12$ $ Leftrightarrow alpha = fracpi 6$ hoặc $alpha = frac5pi 6.$+ cùng với $alpha = fracpi 6$, núm vào phương trình ta được:$msin fracpi 6 + (m + 1)cos fracpi 6 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = – frac1 + sqrt 3 2.$+ cùng với $alpha = frac5pi 6$, nuốm vào phương trình ta được:$msin frac5pi 6 + (m + 1)cos frac5pi 6 + 1 = 0$ $ Leftrightarrow m = – frac1 – sqrt 3 2.$Vậy cùng với $m = – frac1 pm sqrt 3 2$ là đk cần.Điều kiện đủ: bạn đọc tự giải.

III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài tập 1: Giải các phương trình sau:a. $cos ^2x – sqrt 3 sin 2x = sin ^3x + 1.$b. $3sin x – sqrt 3 cos 3x = 4sin ^3x – 1.$

Bài tập 2: Giải những phương trình sau:a. $2cos x(sin x – 1) = sqrt 3 cos 2x.$b. $2sin 3x – sin 2x + sqrt 3 cos 2x = 0.$

Bài tập 3: Giải những phương trình sau:a. $3sin 2x + 4cos 2x + 5cos 2003x = 0.$b. $sqrt 3 sin 4x – cos 4x = sin x – sqrt 3 cos x.$

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:a. $sqrt 3 sin left( x – fracpi 3 ight) + sin left( x + fracpi 6 ight)$ $ – 2sin 1972x = 0.$b. $sin x = frac13(3 – sqrt 3 cos x).$

Bài tập 5: Giải các phương trình sau:a. $sin 2x + (sqrt 3 – 2)cos 2x = 1.$b. $(1 – sqrt 3 )sin x + (1 + sqrt 3 )cos x = 2.$

Bài tập 6: Giải những phương trình sau:a. $3cos x – sin 2x = sqrt 3 (cos 2x + sin x).$b. $sqrt 2 cos left( fracx5 – fracpi 12 ight) – sqrt 6 sin left( fracx5 – fracpi 12 ight)$ $ = 2sin left( fracx5 + frac2pi 3 ight) – 2sin left( frac3x5 + fracpi 6 ight).$

Bài tập 7: mang đến phương trình: $(m – 1)sin x – cos x = 1.$a. Giải phương trình cùng với $m = 1.$b. Tìm kiếm $m$ để phương trình gồm nghiệm thuộc $left<-fracpi2, fracpi2 ight>$

Bài tập 8: mang lại phương trình: $msin x + 2cos x = 1 – m.$a. Giải phương trình cùng với $m = 2sqrt 3 .$b. Tìm $m$ nhằm phương trình có nghiệm trực thuộc $left< – fracpi 2,fracpi 2 ight>.$

Bài tập 9: cho phương trình: $sqrt 3 sin x – cos x = m.$a. Giải phương trình cùng với $m = 1.$b. Biện luận theo $m$ số nghiệm trực thuộc $left( – frac5pi 6,3pi ight>$ của phương trình.

Bài tập 10: search $m$ để phương trình sau tất cả hai nghiệm $x_1,x_2 in <0,2pi >$ và nhì nghiệm này biện pháp nhau $fracpi 2.$

Bài tập 11: Giải và biện luận theo $m$ phương trình:$fraca – bcos xsin x = frac2sqrt a^2 – b^2 an y1 + an ^2y.$

bài bác tập 12: Giải với biện luận theo $m$ phương trình: $msin x + (2m – 1)cos x = 3m – 1$ cùng với $0