Ma Trận Trực Giao Là Gì

Mỗi bộ phận của một ma trận thường đc ký hiệu bằng một thay đổi với nhì chỉ số ở mặt dưới. Ví dụ, a2,1 biểu diễn thành phần ở hàng vật dụng hai và cột đầu tiên của ma trận A.

Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì

Bài Viết: Ma trận trực giao là gì

Trong toán học, ma trận là một trong những mảng chữ nhật<1>—những số, cam kết hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng và cột<2><3>—mà mỗi ma trận tuân theo các điều khoản định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là những bộ phận hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng and 3 cột.

. 1&9&-1320&5&-6end}.}


*

Khi hầu như ma trận gồm cùng size (chúng có cùng số hàng và cùng số cột), thì rất có thể thi công phép cùng hoặc trừ nhị ma trận bên trên những phần tử tương ứng của chúng. Tuy nhiên, luật pháp cần thực hiện được phép nhân ma trận chỉ hoàn toàn có thể thi công đc khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận đồ vật hai. Phần mềm chính của ma trận đấy là phép biểu diễn những biến đổi tuyến tính, có nghĩa là sự tổng quát hóa hàm đường tính như f(x) = 4x . Ví dụ, phép quay đa số vectơ trong không trung ba chiều là 1 trong phép thay đổi tuyến tính mà rất có thể biểu diễn bằng một ma trận cù R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ chứa một cột) miêu tả nơi đặt của một điểm trong ko trung, tích của Rv là 1 trong vec tơ cột biểu đạt nơi để của điểm đó sau phép quay này. Tích của nhị ma trận biến đổi là một ma trận trình diễn hợp của nhì phép biến đổi tuyến tính. Một trong những phần mềm khác của ma trận đây là tìm nghiệm của rất nhiều hệ phương trình con đường tính. Trường hợp là ma trận vuông, hoàn toàn có thể thu đc một số điểm lưu ý của nó bằng phương pháp thức tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu and chỉ nếu như định thức của chính nó khác không. ý niệm hình học tập của một phép biến hóa tuyến tính là nhận được (song tuy nhiên với những thông tin khác) tự trị riêng và vec tơ riêng biệt của ma trận.

Có thể cảm thấy phần mềm của định hướng ma trận trong đa số những ngành nghề khoa học. Trong mỗi nhánh của đồ gia dụng lý học, kể cả cơ học cổ xưa, quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, and điện rượu cồn lực học lượng tử, chúng đc cần sử dụng để nghiên góp những hiện tượng kỳ lạ vật lý, như chuyên chở của đồ rắn. Trong hình ảnh máy tính, ma trận đc cần áp dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình hiển thị 2 chiều. Trong lý thuyết xác suất và đo đạc, hồ hết ma trận bất cứ đc cần thực hiện để diễn đạt tập hợp phần lớn xác suất; ví dụ, chúng thực hiện trong thuật toán PageRank để xếp trang bị hạng đông đảo trang vào lệnh search của Google.<4> Phép tính ma trận tổng thể hóa hồ hết khái niệm vào giải tích như đạo hàm và hàm mũ nếu như với số chiều to hơn.

Một nhánh bao gồm của giải tích số dành riêng để phát triển những thuật toán hữu dụng cho những thống kê giám sát ma trận, một chủ thể đã hàng ngàn năm tuổi and là một ngành nghề nghiên giúp rộng ngày nay. Cách thức khai triển ma trận làm dễ chơi hóa những đo lường và thống kê cả về mặt kim chỉ nan lẫn thực hành. Những thuật toán dựa trên các cấu trúc của các ma trận tính chất, như ma trận thưa (sparse) and ma trận ngay gần chéo, cứu xử lý các giám sát và đo lường trong phương pháp thức thành phần hữu hạn & các tính toán khác. Ma trận vô hạn có mặt trong cơ học tập thiên thể and kim chỉ nan nguyên tử. Một ví dụ dễ chơi về ma trận vô hạn là ma trận màn trình diễn những toán tử đạo hàm, mà tác dụng đến chuỗi Taylor của một hàm số.


1 Định nghĩa 1.1 Độ to 2 lịch sử dân tộc 3 cam kết hiệu 4 đông đảo phép toán căn phiên bản 4.1 Phép cộng, nhân một vài với ma trận, và ma trận gửi vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phép toán hàng 4.4 Ma trận nhỏ 5 Phương trình tuyến đường tính 6 biến hóa tuyến tính 7 Ma trận vuông 7.1 Những loại ma trận tính chất 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch & nghịch đảo của nó 7.1.5 Ma trận khẳng định 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Những đo lường chủ yếu 7.2.1 dấu 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch đảo 7.2.4 Vectơ riêng và trị riêng rẽ 8 Khía cạnh tính toán 9 đối chiếu ma trận 10 tinh tế đại số trừu tượng và tổng quát tháo hóa 10.1 Ma trận với những thành phần mở rộng lớn 10.2 Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính 10.3 nhóm ma trận 10.4 Ma trận trống rỗng 11 ứng dụng 11.1 triết lý đồ thị 11.2 Giải tích & hình học 11.3 lý thuyết xác suất & đo đạc 11.4 Đối xứng and những biến đổi trong đồ dùng lý học tập 11.5 tổ hợp tuyến tính của không ít trạng thái lượng tử 11.6 giao động riêng 11.7 quang quẻ hình học 11.8 Điện tử học tập 12 Đọc thêm 13 Đọc thêm 13.1 Đọc thêm về vật dụng lý 13.2 Đọc thêm về lịch sử dân tộc 14 liên kết ngoài


Định nghĩa

Ma trận là một trong những mảng chữ nhật chứa phần nhiều số hoặc các đối tượng người chi tiêu và sử dụng toán học tập khác, mà có thể định nghĩa một số trong những phép toán như cộng hoặc nhân trên số đông ma trận.<5> Hay gặp gỡ nhất đây là ma trận trên một trường F là 1 trong những mảng chữ nhật chứa đều đại lượng vô hướng của F.<6><7> nội dung bài viết này đề cập đến các ma trận thực & phức, tức là những ma trận cơ mà những thành phần của nó là các số thực hoặc số phức. Các loại ma trận tổng quát hơn đc bàn thảo ở dưới. Ví dụ, ma trận thực:

A = . =-1,3&0,620,4&5,59,7&-6,2end}.}


*

Những số, cam kết hiệu giỏi biểu thức vào ma trận được gọi là những phần tử của nó. Những đường theo phương ngang hoặc phương dọc chứa những thành phần trong ma trận được gọi tương xứng là hàng và cột.

Độ khổng lồ

Độ khổng lồ hay kích cỡ của ma trận được định nghĩa bằng con số hàng and cột cơ mà ma trận có. Một ma trận m hàng & n cột đc gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi m và n được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên cao là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ cất một hàng call là vectơ hàng, and các ma trận chỉ cất một cột hotline là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng and số cột đc gọi là ma trận vuông. Ma trận bao gồm vô hạn số mặt hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là ma trận vô hạn. Trong một trong những điều kiện, như chương trình đại số trang bị tính, sẽ hữu ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không tồn tại cột, goi là ma trận rỗng.


tên thường gọi Độ to lớn Ví dụ bộc lộ Vectơ sản phẩm 1 × n 3&7&2end}}


*

Ma trận cất một hàng, nhiều khi đc sử dụng để màn trình diễn một vectơ Vectơ cột n × 1 418end}}


*

Ma trận chứa một cột, nhiều khi được sử dụng để màn trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}


*

Ma trận tất cả cùng số hàng and số cột, nó được cần sử dụng để biểu diễn phép biến đổi tuyến tính xuất phát từ một không trung vec tơ vào bao gồm nó, như phép bội nghịch ứng, phép xoay hoặc ánh xạ cắt.

lịch sử

Ma trận cất một lịch sử dài về ứng dụng trong giải rất nhiều phương trình tuyến đường tính tuy thế chúng được biết đến là gần như mảng tính đến tận những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào thời gian năm 152 TCN nêu ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính,<8> kể cả khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học tín đồ Ý Girolamo Cardano ra mắt phương thức giải này vào châu Âu khi ông tuyên ba quyển Ars Magna.<9> nhà toán học tập Nhật bạn dạng Seki đã nên sử dụng phương thức mảng này để giải hệ phương trình vào khoảng thời gian 1683.<10> đơn vị toán học tập Hà Lan Jan de Witt lần trước tiên biểu diễn những biến đổi đổi bên dưới dạng ma trận mảng vào cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> trong những năm 1700 and 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz tuyên bố cách thức cần thực hiện những mảng để lưu lại tin tức hay search nghiệm & nghiên giúp trên 50 một số loại ma trận không giống nhau.

Xem thêm: Phương Pháp Lập Kế Hoạch Kinh Doanh Của Doanh Nghiệp Công Nghệ 10

<9> Cramer nêu ra pháp luật của ông vào thời điểm năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất trường đoản cú mater—mẹ<12>) vày James Joseph Sylvester vứt ra vào khoảng thời gian 1850,<13> khi ông rõ ràng rằng ma trận là một đối tượng người chi tiêu và sử dụng làm xuất hiện một số định thức mà thời buổi này gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ dại hơn thu đc từ ma trận ban đầu bằng cách thức xóa đi rất nhiều hàng and những cột. Trong một bài xích báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã khái niệm trong bài báo trước về “Ma trận” là một trong những mảng chữ nhật chứa phần đông phần tử, mà những định thức không giống nhau có thể nêu ra định thức của ma trận mẹ.<14>

Arthur Cayley đăng một chăm luận về phần nhiều phép biến hóa hình học tập cần áp dụng ma trận ngoài các phép biến hóa quay đã được điều tra trước đó. Thay vào đó, ông định nghĩa mọi phép toán như cộng, trừ, nhân & chia những ma trận này and chứng minh những lao lý kết đúng theo and tán thành vẫn được tán thành. Cayley đã nghiên giúp and dẫn chứng đặc điểm không giao dịch của phép nhân ma trận tương tự tính giao dịch của phép cộng ma trận.<9> định hướng ma trận nguyên sơ bị giới hạn ở cách thức cần áp dụng những mảng và tính định thức & những phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đang trở nên cuộc phương thức mạng cho triết lý này. Ông cần thực hiện khái niệm ma trận mang lại hệ phương trình tuyến đường tính độc lập. Năm 1858 Cayley tuyên tía Nhật ký kết về định hướng ma trận<15><16> trong những số đó ông chi ra and chứng tỏ định lý Cayley-Hamilton.<9>


Nhà toán học fan Anh Cullis là fan trước tiên cần sử dụng ký hiệu ngoặc tân tiến cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu đặc biệt quan trọng A = để trình diễn một ma trận với ai,j là bộ phận ở hàng vật dụng i and cột sản phẩm công nghệ j.<9>

Công đoạn nghiên giúp định thức xuất phát từ một trong những nguồn khác nhau.<17> Những việc số học dẫn Gauss đi đến liên hệ những thông số của dạng toàn phương, các đa thức bao gồm dạng x2 + xy − 2y2, and ánh xạ tuyến đường tính trong không trung ba chiều với ma trận. Eisenstein đã cải tiến và phát triển xa hơn đầy đủ khái niệm này, với review theo cách thức phát bộc lộ đại rằng tích ma trận là không giao hoán. Cauchy là người trước tiên minh chứng các mệnh đề tổng quát về định thức, khi phan xuân cần sử dụng quan niệm như sau về định thức của ma trận A = : thay thế lũy quá ajk bởi ajk trong đa thức

a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i

*

với Π cam kết hiệu tích những thông số đứng đằng sau. Ông cũng minh chứng vào năm 1829 rằng kinh phí đầu tư riêng của những ma trận đối xứng là thực.<18> Jacobi nghiên giúp “định thức hàm”—mà về sau biến thành định thức Jacobi như phương thức gọi của Sylvester—nó đc phần mềm để nghiên giúp những đổi khác hình học ở mức cục bộ (hay hết sức bé); bài bác báo Vorlesungen über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> và Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả nhị đều được tuyên bố vào thời điểm năm 1903, lần trước tiên vẫn coi định thức theo phương pháp tiên đề hóa, ngược lại nếu với phương thức tiếp cận cụ thể ở các lần trước kia như trong phương pháp của Cauchy.

Nhiều định lý ban sơ chỉ phát biểu cho đông đảo ma trận bé nhỏ dại, ví như định lý Cayley–Hamilton đc minh chứng cho ma trận 2×2 như Cayley đưa ra trong luận án của tớ, and bởi Hamilton cho ma trận 4×4. Frobenius, dựa trên những dạng tuy nhiên tuyến tính, đã tổng quát định lý lịch sự mọi form size (1898). Cũng vào cuối thế kỷ 19 cách thức khủ Gauss–Jordan (tổng quát lác hóa cho đk tính chất đấy là phép khử Gauss) vì nhà trắc địa Wilhelm Jordan bỏ ra. Trong thời điểm đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt mức mức phương châm trung trọng tâm trong đại số tuyến đường tính,<21> một trong những phần nhờ ứng dụng của nó trong phân loại hệ thống số rất phức trong vậy kỷ trước.

Sự bắt đầu của cơ học tập ma trận vì những nhà trang bị lý Heisenberg, Born and Jordan ném ra đã mang đến nghiên giúp về ma trận có vô hạn hàng và cột.<22> Later, von Neumann đã tùy chỉnh thiết lập lên phát biểu toán học của cơ học tập lượng tử, bằng cách thức cải tiến và phát triển xa hơn đều khái niệm của giải tích hàm như toán tử con đường tính trong không trung Hilbert, mà, nói sơ lược, tương xứng với không trung Euclide, nhưng có vô hạn hướng độc lập.

A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}

Một phương pháp ký hiệu khác là cần sử dụng dấu ngoặc đơn to cầm cho dấu ngoặc vuông: