MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 4X4

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến đường tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng với PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cung cấp n được hotline là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với tất cả ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa đk trên gồm dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cấp n

Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là duy nhất. Thiệt vậy, đưa sử bao gồm hai ma trận đơn vị chức năng I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị chức năng nên I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong những ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, ví như tồn tại một ma trận B vuông cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.Bạn vẫn xem: Ma trận nghịch hòn đảo 4x4

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 nhận xét:

1. Ma trận nghịch hòn đảo là duy nhất, bởi giả sử sống thọ ma trận C vuông cung cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Vào giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay tại, có tương đối nhiều giáo trình quốc tế đã đề cập mang lại khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo 4x4

Thật vậy, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, ta bảo A là khả nghịch trái trường hợp tồn tại ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Cùng khi đó, tất nhiên A khả nghịch trường hợp A khả nghịch trái và khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị chức năng là khả nghịch, Ma trận ko không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp cho n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 những ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta những có:


*

2. Tính chất:

1. Giả dụ A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Giả dụ A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Bạn hãy thừ chứng minh kết trái trên nhé)

3. Quan hệ giữa ma trận khả nghịch với ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cung cấp n trên K (n ≥ 2) được call là ma trận sơ cấp cho dòng (cột) nếu E nhận được từ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phép đổi khác sơ cấp dòng (cột). Những ma trận sơ cấp loại hay cột gọi phổ biến là ma trận sơ cấp.

Xem thêm: Danh Sách Các Sân Bóng Đá Acc-243, Danh Bạ Doanh Nghiệp Đà Nẵng

3.2 Tính chất: đông đảo ma trận sơ cấp chiếc (hay cột) hầu như khả nghịch với nghịch hòn đảo của nó lại là 1 trong những ma trận sơ cấp dòng.

Ta hoàn toàn có thể kiểm tra trực tiếp tác dụng trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cung cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 2


Ma trận sơ cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n bên trên K (n ≥ 2). Khi đó, các xác định sau đó là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra từ A bởi một vài hữu hạn các phép chuyển đổi sơ cấp chiếc (cột)

3. A là tích của một số trong những hữu hạn những ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem minh chứng định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Lúc đó, các khẳng định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch khi còn chỉ khi dạng bao gồm tắc của A là In

2. Ví như A khả nghịch thì In nhận thấy từ A bởi một vài hữu hạn các phép thay đổi sơ cấp loại (cột); đồng thời, bao gồm dãy các phép thay đổi sơ cấp cái (cột) đó sẽ biến In thành nghịch hòn đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm kiếm ma trận nghịch hòn đảo bằng phép biến hóa sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm nghịch hòn đảo (nếu có)của ma trận A vuông cấp cho n trên K. Thuật toán này được desgin dựa vào tác dụng thứ 2 của hệ trái 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A


Lập ma trận đưa ra khối cấp cho n x 2n

Bước 2: Dùng những phép biến hóa sơ cung cấp dòng để gửi về dạng , trong những số đó A’ là một trong ma trận bậc thang thiết yếu tắc.

– ví như A’ = In thì A khả nghịch cùng A-1 = B

– giả dụ A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong vượt trình chuyển đổi nếu A’ xuất hiện thêm ít nhất 1 dòng không thì lập tức tóm lại A ko khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chủ yếu tắc) và ngừng thuật toán.

Ví dụ minh họa: sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tìm ma trận nghịch hòn đảo của: